Invisible Center

La focale si dà di solito in millimetri: un obiettivo da 50 mm. Ma in un'immagine digitale il righello naturale è il pixel, e si passa dall'una all'altro tramite la dimensione del pixel: f (pixel) = f (mm) / lato del pixel (mm). Il modulo di un telefono, 5,6 mm di focale e pixel da 1,4 µm, dà f = 4000 pixel. È l'unità di tutto il seguito: dice a quanti pixel da C sta il piano immagine, e permette di confrontare direttamente uno scarto di c_x, anch'esso in pixel, con f.

Uno scarto di c_x sposta tutti i pixel dello stesso passo. Una piccola rotazione della fotocamera attorno al suo centro ottico fa quasi lo stesso e, contro l'intuizione, senza alcun riguardo per la profondità: sposta i pixel secondo la loro posizione nel campo: al centro, dello stesso passo di uno scarto di c_x; verso i bordi, di più. Vicino all'asse i due sono quindi quasi indistinguibili; sono i bordi di un campo largo a separarli. Il rilievo separa altro: c_x da una traslazione laterale, il cui effetto decresce con la distanza; e disinnesca le degenerazioni che insidiano le scene piane. Una mira piana non è cattiva in sé, è rischiosa: il cattivo condizionamento nasce dalla geometria povera o dai movimenti degeneri, orientamenti troppo simili, campo mal coperto; il rilievo è semplicemente la protezione più sicura, da cui il gusto dei fotogrammetri per i campi di mire tridimensionali. Campo largo, punti fino ai bordi, mondo in rilievo: è il capitolato di una buona calibrazione. L'algoritmo del prossimo capitolo, invece, camminerà anziché saltare per una ragione più semplice, la non linearità portata dalle rotazioni; ma se camminerà lentamente, sarà per questa parentela di c_x con esse.

Una fotocamera vera è nascosta nella pagina, volutamente decentrata, e le sei mire vere sono disassate di qualche grado. Le osservazioni sono fabbricate proiettando i punti dell'edificio attraverso questa fotocamera, con un rumore di misura gaussiano, indipendente da un'osservazione all'altra, di deviazione standard 0,3 pixel su ogni coordinata. La stima parte da una fotocamera sbagliata e da mire supposte perfette, poi minimizza, con Levenberg-Marquardt, l'errore di riproiezione: per ogni spigolo di finestra in ogni immagine, lo scarto in pixel, sulla lastra, tra il punto osservato e il punto proiettato dalla fotocamera stimata. È questo criterio, e questo soltanto, che l'algoritmo fa scendere, riassunto in un numero, l'rms, la media quadratica: la radice della media dei quadrati di tutti questi scarti, in pixel. I raggi che convergono nella lente ne sono l'immagine geometrica, non la grandezza minimizzata. Nove incognite: f, c_x, c_y, e per ogni stazione un solo angolo di mira, l'imbardata, tenendo per esatte le altre componenti dell'orientamento. Questo conto di nove è quello del nostro dispositivo, dove l'edificio fa da mira nota e le posizioni delle stazioni sono tenute per esatte; nel caso generale, ogni immagine porta sei incognite di posa, ogni punto del mondo tre in più, e la compensazione a fasci le stima tutte insieme. La semplificazione cambia il conto, non la natura del problema. Dettaglio che conta: con l'orientamento esterno perfettamente noto, il problema sarebbe lineare e si risolverebbe in un solo salto. Ma questo caso di scuola s'incontra quasi soltanto in laboratorio: esistono banchi di calibrazione dove le stazioni sono misurate al teodolite, batterie di collimatori dalle direzioni note per costruzione; anche lì, note vuol dire misurate, con la loro incertezza. Ovunque altrove, l'orientamento interno è osservabile solo attraverso immagini, e un'immagine intreccia sempre l'interno e l'esterno. È questa stima congiunta a rendere la calibrazione davvero iterativa, e a creare la sua difficoltà classica: un piccolo scarto di c_x somiglia molto a una piccola rotazione. A separarli non è la profondità, una rotazione attorno al centro ottico sposta i pixel senza alcun riguardo per essa, ma i bordi del campo: lì la rotazione sposta di più, c_x ovunque dello stesso passo; serve un campo largo, con punti fino ai bordi. Se cammina invece di saltare è anzitutto, semplicemente, perché le rotazioni rendono il problema non lineare e lo Jacobiano cambia a ogni passo; se cammina lentamente lungo c_x, è questa parentela con le rotazioni, una valle stretta che solo i bordi del campo raddrizzano. Le nove incognite, del resto, non hanno lo stesso statuto: le sei mire sono ausiliarie, stimate e poi lasciate sul posto con le stazioni; i tre parametri interni sono il prodotto durevole del calcolo, la carta d'identità della fotocamera, riutilizzabile domani, altrove, su altre pose. Un'ultima parola: calibrare, nel senso dei metrologi, è imparare che cosa uno strumento è, senza modificarlo; regolarlo sarebbe un'altra cosa. È il senso che teniamo. Un'ultima sottigliezza, che la tabella finale mostra da sé: l'rms dei residui va a posarsi nei pressi della deviazione standard del rumore, perfino un soffio sotto, avendo la compensazione assorbito i suoi nove gradi di libertà; lì sotto non c'è nulla da andare a cercare. I parametri, invece, si lasciano stimare più finemente del rumore di una misura isolata, perché ogni osservazione porta il suo grano d'informazione; l'incertezza decresce circa come l'inverso della radice del numero di osservazioni, finché gli errori restano indipendenti; poi vengono i pavimenti che nulla media, la geometria e le sue correlazioni, quella di c_x con le rotazioni in testa, e i difetti del modello stesso. Il rumore si media, il bias si ripete. E così l'ultima parola conserva il suo senso esatto: non si conosce mai meglio di ciò che si è misurato, non ogni misura presa da sola, ma la somma d'informazione di tutte insieme.