Invisible Center

On donne d'habitude la focale en millimètres : un objectif de 50 mm. Mais dans une image numérique, la règle naturelle est le pixel, et l'on passe de l'une à l'autre par la taille du pixel : f (pixels) = f (mm) / côté du pixel (mm). Le module d'un téléphone, 5,6 mm de focale et des pixels de 1,4 µm, donne f = 4000 pixels. C'est l'unité de toute la suite : elle dit à combien de pixels de C se trouve le plan image, et elle permet de comparer directement un écart de c_x, en pixels lui aussi, à f.

Un décalage de c_x déplace tous les pixels du même pas. Une petite rotation de la caméra autour de son centre optique fait presque pareil, et, contre l'intuition, sans aucun égard pour la profondeur : elle déplace les pixels selon leur position dans le champ : au centre, du même pas qu'un décalage de c_x ; vers les bords, davantage. Près de l'axe, les deux sont donc presque indiscernables ; ce sont les bords d'un champ large qui les séparent. Le relief, lui, sépare autre chose : c_x d'une translation latérale, dont l'effet décroît avec la distance ; et il désamorce les dégénérescences qui guettent les scènes planes. Une mire plate n'est d'ailleurs pas mauvaise en soi, elle est risquée : ce qui fait le mauvais conditionnement, c'est la géométrie pauvre ou les mouvements dégénérés, orientations trop semblables, champ mal couvert ; le relief est simplement la façon la plus sûre de s'en prémunir, et c'est le goût des photogrammètres pour les champs de cibles en trois dimensions. Champ large, points jusqu'aux bords, monde en relief : c'est le cahier des charges d'un bon étalonnage. L'algorithme du chapitre suivant, lui, cheminera au lieu de sauter pour une raison plus simple, la non-linéarité qu'apportent les rotations ; mais s'il chemine lentement, ce sera à cause de cette parenté de c_x avec elles.

Une caméra vraie est cachée dans la page, volontairement décentrée, et les six visées vraies sont désaxées de quelques degrés. Les observations sont fabriquées en projetant les points du bâtiment à travers cette caméra, avec un bruit de mesure gaussien, indépendant d'une observation à l'autre, d'écart type 0,3 pixel sur chaque coordonnée. L'estimation part d'une caméra fausse et de visées supposées parfaites, puis minimise, par Levenberg-Marquardt, l'erreur de reprojection : pour chaque coin de fenêtre dans chaque image, l'écart en pixels, sur la plaque, entre le point observé et le point que projette la caméra estimée. C'est ce critère, et lui seul, que l'algorithme fait descendre, résumé en un nombre, le rms, la moyenne quadratique : la racine de la moyenne des carrés de tous ces écarts, en pixels. Les rayons qui convergent dans la loupe en sont l'image géométrique, pas la grandeur minimisée. Neuf inconnues : f, c_x, c_y, et pour chaque station un seul angle de visée, le lacet, les autres composantes de l'orientation étant tenues pour exactes. Ce compte de neuf est celui de notre dispositif, où le bâtiment joue le rôle d'une mire connue et où les positions des stations sont tenues pour exactes ; dans le cas général, chaque image apporte six inconnues de pose, chaque point du monde trois de plus, et l'ajustement de faisceaux les estime toutes ensemble. La simplification change le compte, pas la nature du problème. Détail qui compte : à orientation externe parfaitement connue, le problème serait linéaire et se résoudrait d'un seul saut. Mais ce cas d'école ne se rencontre guère qu'au laboratoire : il existe des bancs d'étalonnage où les stations sont mesurées au théodolite, des batteries de collimateurs aux directions connues par construction ; même là, connues veut dire mesurées, avec leur propre incertitude. Partout ailleurs, l'orientation interne n'est observable qu'à travers des images, et une image entremêle toujours l'interne et l'externe. C'est cette estimation jointe qui rend l'étalonnage véritablement itératif, et qui crée sa difficulté classique : un petit décalage de c_x ressemble beaucoup à une petite rotation. Ce qui les sépare, ce n'est pas la profondeur, une rotation autour du centre optique déplace les pixels sans aucun égard pour elle, mais les bords du champ : la rotation y déplace davantage, c_x partout du même pas ; il faut un champ large et des points jusqu'aux bords. S'il chemine au lieu de sauter, c'est d'abord, tout simplement, que les rotations rendent le problème non linéaire et que le Jacobien change à chaque pas ; s'il chemine lentement le long de c_x, c'est cette parenté avec les rotations, une vallée étroite que seuls les bords du champ redressent. Les neuf inconnues n'ont d'ailleurs pas le même statut : les six visées sont des auxiliaires, estimées puis laissées sur place avec les stations ; les trois paramètres internes sont le produit durable du calcul, la fiche d'identité de la caméra, réutilisable demain, ailleurs, sur d'autres poses. Un mot, enfin : le métier dit volontiers calibration, à l'anglaise ; le français des métrologues dit étalonnage, apprendre ce qu'un instrument est, sans le modifier. C'est le mot que nous gardons. Dernière subtilité, que le tableau final montre de lui-même : le rms des résidus vient se poser au voisinage de l'écart type du bruit, un souffle en dessous même, l'ajustement ayant absorbé ses neuf degrés de liberté ; il n'y a rien, là, à aller chercher plus bas. Les paramètres, eux, se laissent estimer plus finement que le bruit d'une mesure isolée, car chaque observation apporte son grain d'information ; l'incertitude décroît à peu près comme l'inverse de la racine du nombre d'observations, tant que les erreurs restent indépendantes ; puis viennent les planchers que rien ne moyenne, la géométrie et ses corrélations, celle de c_x avec les rotations en tête, et les défauts du modèle lui-même. Le bruit se moyenne, le biais se répète. Et le dernier mot garde ainsi son sens exact : on ne connaît jamais mieux que ce que l'on a mesuré, non pas chaque mesure prise seule, mais la somme d'information de toutes ensemble.