Invisible Center

La focal suele darse en milímetros: un objetivo de 50 mm. Pero en una imagen digital la regla natural es el píxel, y se pasa de una a otro mediante el tamaño del píxel: f (píxeles) = f (mm) / lado del píxel (mm). El módulo de un teléfono, 5,6 mm de focal y píxeles de 1,4 µm, da f = 4000 píxeles. Es la unidad de todo lo que sigue: dice a cuántos píxeles de C está el plano imagen, y permite comparar directamente un error de c_x, también en píxeles, con f.

Un desplazamiento de c_x mueve todos los píxeles con el mismo paso. Una pequeña rotación de la cámara en torno a su centro óptico hace casi lo mismo y, contra la intuición, sin ningún miramiento por la profundidad: mueve los píxeles según su posición en el campo: en el centro, con el mismo paso que un desplazamiento de c_x; hacia los bordes, más. Cerca del eje ambos son casi indistinguibles; son los bordes de un campo ancho los que los separan. El relieve separa otra cosa: c_x de una traslación lateral, cuyo efecto decrece con la distancia; y desactiva las degeneraciones que acechan a las escenas planas. Una mira plana no es mala en sí, es arriesgada: lo que produce el mal condicionamiento es la geometría pobre o los movimientos degenerados, orientaciones demasiado parecidas, campo mal cubierto; el relieve es simplemente la salvaguarda más segura, de ahí el gusto de los fotogrametristas por los campos de dianas tridimensionales. Campo ancho, puntos hasta los bordes, mundo en relieve: ese es el pliego de condiciones de una buena calibración. El algoritmo del próximo capítulo, por su parte, caminará en vez de saltar por una razón más simple, la no linealidad que aportan las rotaciones; pero si camina despacio, será por este parentesco de c_x con ellas.

Una cámara verdadera está oculta en la página, deliberadamente descentrada, y las seis punterías verdaderas están desviadas unos grados. Las observaciones se fabrican proyectando los puntos del edificio a través de esta cámara, con un ruido de medida gaussiano, independiente de una observación a otra, de desviación típica 0,3 píxeles en cada coordenada. La estimación parte de una cámara falsa y de punterías supuestas perfectas, y minimiza después, por Levenberg-Marquardt, el error de reproyección: para cada esquina de ventana en cada imagen, la discrepancia en píxeles, sobre la placa, entre el punto observado y el punto que proyecta la cámara estimada. Es este criterio, y solo este, el que el algoritmo hace descender, resumido en un número, el rms, la media cuadrática: la raíz de la media de los cuadrados de todas estas discrepancias, en píxeles. Los rayos que convergen en la lupa son su imagen geométrica, no la magnitud minimizada. Nueve incógnitas: f, c_x, c_y, y para cada estación un solo ángulo de puntería, la guiñada, dando por exactas las demás componentes de la orientación. Este recuento de nueve es el de nuestro dispositivo, donde el edificio hace de mira conocida y las posiciones de las estaciones se dan por exactas; en el caso general, cada imagen aporta seis incógnitas de pose, cada punto del mundo tres más, y el ajuste de haces las estima todas juntas. La simplificación cambia el recuento, no la naturaleza del problema. Detalle que importa: con la orientación externa perfectamente conocida, el problema sería lineal y se resolvería de un solo salto. Pero este caso de escuela apenas se encuentra fuera del laboratorio: existen bancos de calibración donde las estaciones se miden con teodolito, baterías de colimadores de direcciones conocidas por construcción; incluso allí, conocidas quiere decir medidas, con su propia incertidumbre. En todos los demás lugares, la orientación interna solo es observable a través de imágenes, y una imagen entrelaza siempre la interna y la externa. Es esta estimación conjunta la que hace la calibración verdaderamente iterativa, y la que crea su dificultad clásica: un pequeño desplazamiento de c_x se parece mucho a una pequeña rotación. Lo que los separa no es la profundidad, una rotación en torno al centro óptico mueve los píxeles sin miramiento alguno por ella, sino los bordes del campo: allí la rotación mueve más, c_x en todas partes con el mismo paso; hace falta un campo ancho, con puntos hasta los bordes. Si camina en vez de saltar es primero, sencillamente, porque las rotaciones hacen el problema no lineal y el Jacobiano cambia a cada paso; si camina despacio a lo largo de c_x, es este parentesco con las rotaciones, un valle estrecho que solo los bordes del campo enderezan. Las nueve incógnitas, por lo demás, no tienen el mismo estatus: las seis punterías son auxiliares, estimadas y luego dejadas en el lugar con las estaciones; los tres parámetros internos son el producto duradero del cálculo, el carné de identidad de la cámara, reutilizable mañana, en otro lugar, sobre otras poses. Una última palabra: calibrar, en el sentido de los metrólogos, es aprender qué es un instrumento, sin modificarlo; ajustarlo sería otra cosa. Ese es el sentido que conservamos. Una última sutileza, que la tabla final muestra por sí sola: el rms de los residuos se posa en el entorno de la desviación típica del ruido, incluso un soplo por debajo, al haber absorbido el ajuste sus nueve grados de libertad; ahí abajo no hay nada que ir a buscar. Los parámetros, en cambio, se dejan estimar más finamente que el ruido de una medida aislada, pues cada observación aporta su grano de información; la incertidumbre decrece aproximadamente como el inverso de la raíz del número de observaciones, mientras los errores sigan siendo independientes; luego vienen los suelos que nada promedia, la geometría y sus correlaciones, la de c_x con las rotaciones en cabeza, y los defectos del propio modelo. El ruido se promedia, el sesgo se repite. Y así la última palabra conserva su sentido exacto: nunca se conoce mejor que lo que se ha medido, no cada medida tomada por separado, sino la suma de información de todas juntas.